492. Докажите признаки равнобедренной трапеции. Трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

Пусть дана трапеция ABCD, где AB ∥ CD. Требуется доказать, что её боковые стороны равны: AD = BC.

а) Если углы при основании равны.

Пусть ∠DAB = ∠ABC. Опустим из вершин D и C перпендикуляры DE и CF на основание AB.

1. Так как AB ∥ CD, расстояние между параллельными прямыми постоянно, поэтому DE = CF.
2. Прямоугольные треугольники ADE и BCF имеют равные острые углы: ∠DAE = ∠CBF.
3. Следовательно, эти треугольники равны по катету и острому углу.
4. Отсюда соответствующие гипотенузы равны: AD = BC.

Значит, трапеция является равнобедренной.

б) Если диагонали трапеции равны.

Проведём из вершин D и C перпендикуляры к основанию AB. Обозначим высоту трапеции через h, а горизонтальные проекции диагоналей на основание AB — через x и y. Тогда из прямоугольных треугольников:

\(AC^2=h^2+x^2\), \(BD^2=h^2+y^2\).

По условию \(AC=BD\), поэтому

\[h^2+x^2=h^2+y^2,\qquad x^2=y^2.\]

Следовательно, \(x=y\). Проекции боковых сторон на основание равны по модулю, а их перпендикулярные составляющие также равны и равны высоте h. Поэтому боковые стороны являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников:

\[AD^2=h^2+x^2,\qquad BC^2=h^2+y^2.\]

Так как \(x=y\), получаем \(AD^2=BC^2\), следовательно, \(AD=BC\).

Значит, трапеция является равнобедренной.

Ответ: а) равенство углов при одном основании; б) равенство диагоналей — достаточные признаки равнобедренной трапеции.