495. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если: а) AB = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C = ∠D = 60°, AB = BC = 8 см; в) ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, BC = 9√2 см.

а) Так как боковые стороны равны, трапеция равнобедренная. Разность оснований равна \(20-10=10\) см, поэтому проекция каждой боковой стороны на большее основание равна \(10:2=5\) см.

Высота трапеции:

\[h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12\text{ см}.\]

Площадь:

\[S=\frac{AB+CD}{2}\cdot h=\frac{10+20}{2}\cdot12=180\text{ см}^2.\]

б) Высота является катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой \(BC=8\) см:

\[h=BC\cdot\sin60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3\text{ см}.\]

Проекция каждой боковой стороны на основание:

\[BC\cdot\cos60^\circ=8\cdot\frac12=4\text{ см}.\]

Следовательно, \(CD=8+4+4=16\) см. Тогда

\[S=\frac{8+16}{2}\cdot4\sqrt3=48\sqrt3\text{ см}^2.\]

в) Высота трапеции:

\[h=BC\cdot\sin45^\circ=9\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=9\text{ см}.\]

Проекция каждой боковой стороны:

\[BC\cdot\cos45^\circ=9\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=9\text{ см}.\]

Поэтому \(CD=6+9+9=24\) см. Площадь:

\[S=\frac{6+24}{2}\cdot9=135\text{ см}^2.\]

Ответ: а) \(180\text{ см}^2\); б) \(48\sqrt3\text{ см}^2\); в) \(135\text{ см}^2\).