496 Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали.

Решение задачи в)

Дано: Три отрезка: M₁N₁, M₂N₂, M₃N₃.

Требуется построить: Параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны AB и AD равны отрезкам M₁N₁ и M₂N₂ соответственно, а диагональ BD равна отрезку M₃N₃.

Анализ

Если искомый параллелограмм ABCD построен, то треугольник ABD имеет стороны, равные данным отрезкам M₁N₁, M₂N₂ и M₃N₃. Это подсказывает следующий алгоритм:

• Сначала построить треугольник ABD по трем сторонам (AB = M₁N₁, AD = M₂N₂, BD = M₃N₃).
• Затем достроить этот треугольник до параллелограмма ABCD.

Построение

1. Построение треугольника ABD: Строим треугольник ABD, у которого стороны AB, AD и BD равны соответственно данным отрезкам M₁N₁, M₂N₂ и M₃N₃. (Это возможно, если выполняется неравенство треугольника для данных отрезков).
2. Построение точки C:
   • Через вершину B проводим прямую, параллельную стороне AD.
   • Через вершину D проводим прямую, параллельную стороне AB.
   • Точка пересечения этих двух прямых будет вершиной C.
3. Результат: Четырёхугольник ABCD является искомым параллелограммом.

Доказательство

• По построению, AB || CD и BC || AD. Следовательно, ABCD — это параллелограмм.
• Смежные стороны AB и AD построены равными данным отрезкам M₁N₁ и M₂N₂.
• Диагональ BD построена равной данному отрезку M₃N₃.
• Таким образом, построенный параллелограмм ABCD соответствует условию задачи.

Исследование

Построение параллелограмма возможно только в том случае, если по трем данным отрезкам можно построить треугольник. Это означает, что сумма длин любых двух отрезков должна быть больше длины третьего отрезка (неравенство треугольника).