4cos^2x - 8cosx + 3 = 0

Это тригонометрическое уравнение. Для его решения мы можем использовать замену переменной.

• Пусть cos x = t. Тогда уравнение примет вид:

\[ 4t^2 - 8t + 3 = 0 \]

• Теперь решим это квадратное уравнение относительно t. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 \]

• Найдем корни:

\[ t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

\[ t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]

• Теперь вернемся к замене cos x = t:
• 1. cos x = 1/2

Общее решение этого уравнения: \[ x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Где \[ \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} \]

Таким образом, \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

• 2. cos x = 3/2

Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может быть больше 1.

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)