№ 4 Отрезки МЕ и РК являются диаметрами окружности с центром в точке О. Докажите, что: а) ∠EMP = ∠MPK; б) отрезки КМ и PF равны.

Решение задачи №4:

Давай разберемся с этой задачей по шагам!

Дано:

• Окружность с центром в точке O.
• Диаметры ME и PK.

Доказать:

• а) ∠EMP = ∠MPK
• б) KM = PF

Доказательство:

Часть а) Докажем, что ∠EMP = ∠MPK

1. ME и PK — диаметры окружности. Это значит, что они проходят через центр O.
2. Рассмотрим треугольники ΔMOP и ΔEOK.
3. MO = OP = EO = OK — все это радиусы окружности, поэтому они равны.
4. Углы ∠MOP и ∠EOK являются вертикальными. Вертикальные углы всегда равны. Значит, ∠MOP = ∠EOK.
5. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) ΔMOP = ΔEOK.
6. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны: MP = EK.
7. Теперь рассмотрим треугольники ΔEMK и ΔPME.
8. ME — общий диаметр для обоих треугольников.
9. MK и PE — хорды, которые стягивают равные дуги (дугу EK и дугу MP соответственно). Поскольку ∠MOP = ∠EOK, то и соответствующие дуги равны: дуга MP = дуга EK.
10. Равные дуги стягиваются равными хордами, поэтому MK = PE.
11. Треугольники ΔEMK и ΔPME имеют общую сторону ME, а также равные стороны MK = PE.
12. Углы ∠MEK и ∠EMP опираются на одну и ту же дугу MK. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Следовательно, ∠MEK = ∠EMP.
13. Аналогично, углы ∠EMK и ∠EPK опираются на дугу EK, значит ∠EMK = ∠EPK.
14. Углы ∠KME и ∠KPE опираются на дугу KE.
15. Углы ∠KPE и ∠KME опираются на дугу KE, значит ∠KPE = ∠KME.
16. Углы ∠EMP и ∠EPK опираются на дугу EP.
17. Углы ∠MEP и ∠MKP опираются на дугу MP.
18. Нам нужно доказать, что ∠EMP = ∠MPK.
19. Угол ∠EMP — это вписанный угол, опирающийся на дугу EP.
20. Угол ∠MPK — это вписанный угол, опирающийся на дугу MK.
21. Рассмотрим треугольники ΔOMP и ΔOEK. Мы уже доказали, что они равны.
22. Теперь рассмотрим треугольники ΔOME и ΔOPK.
23. OE = OK (радиусы)
24. OM = OP (радиусы)
25. ∠MOE = ∠POK (вертикальные углы)
26. Значит, ΔOME = ΔPOK по первому признаку равенства треугольников.
27. Из равенства треугольников следует, что ME = PK (что очевидно, так как это диаметры) и ∠OEM = ∠OKP, ∠OME = ∠OPK.
28. Рассмотрим треугольники ΔMEP и ΔPKM.
29. ME = PK (диаметры).
30. MP = EK (доказано ранее).
31. ∠EMP и ∠EKP опираются на дугу EP.
32. ∠MEP и ∠MKP опираются на дугу MP.
33. ∠KME и ∠KPE опираются на дугу KE.
34. ∠MPK и ∠MEK опираются на дугу MK.
35. Углы ∠EMP и ∠EPK опираются на дугу EP.
36. Рассмотрим треугольники ΔOMP и ΔOEK. Мы доказали, что они равны.
37. Угол ∠EMP является частью угла ∠EMK. Угол ∠MPK является частью угла ∠MPЕ.
38. Поскольку ME и PK — диаметры, то они делят окружность на две равные части (полуокружности).
39. ∠MOP = ∠EOK (вертикальные).
40. ∠MOE = ∠POK (вертикальные).
41. Угол ∠EMP — вписанный угол, опирающийся на дугу EP. Величина этой дуги равна ∠EOP.
42. Угол ∠MPK — вписанный угол, опирающийся на дугу MK. Величина этой дуги равна ∠MOK.
43. Так как ∠EOP и ∠MOK являются вертикальными углами, то ∠EOP = ∠MOK.
44. Следовательно, величины дуг EP и MK равны.
45. Так как вписанные углы ∠EMP и ∠MPK опираются на равные дуги EP и MK соответственно, то ∠EMP = ∠MPK.

Часть б) Докажем, что KM = PF

1. Рассмотрим треугольники ΔOMK и ΔOPF.
2. OM = OP (радиусы).
3. OK = OF (радиусы).
4. Углы ∠MOK и ∠POF являются вертикальными, следовательно, ∠MOK = ∠POF.
5. По первому признаку равенства треугольников (СУС), ΔOMK = ΔPOF.
6. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны. Значит, KM = PF.

Ответ:

• а) ∠EMP = ∠MPK доказано.
• б) KM = PF доказано.