4 Тип 17 і Упростите числовое выражение √40√2-571-√40√2+57.

Решение

Чтобы упростить числовое выражение $$\sqrt{|40\sqrt{2}-57|}-\sqrt{40\sqrt{2}+57.}$$, сначала определим знаки подкоренных выражений.

Сравним $$40\sqrt{2}$$ и $$57$$. Возведем оба числа в квадрат: $$(40\sqrt{2})^2 = 40^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 1600 \cdot 2 = 3200$$. $$57^2 = 3249$$.

Так как $$3200 < 3249$$, то $$40\sqrt{2} < 57$$. Следовательно, $$|40\sqrt{2}-57| = -(40\sqrt{2}-57) = 57-40\sqrt{2}$$.

Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение: $$E = \sqrt{57-40\sqrt{2}}-\sqrt{40\sqrt{2}+57}$$.

Рассмотрим выражение под первым корнем: $$57-40\sqrt{2}$$. Попробуем представить его в виде $$(a-b\sqrt{2})^2$$.

$$(a-b\sqrt{2})^2 = a^2 - 2ab\sqrt{2} + (b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 - 2ab\sqrt{2}$$.

Сравнивая $$57-40\sqrt{2}$$ с $$a^2+2b^2-2ab\sqrt{2}$$, получим систему уравнений: $$a^2+2b^2 = 57$$ $$2ab = 40 \nRightarrow ab = 20$$.

Из $$ab=20$$ следует $$b = \frac{20}{a}$$. Подставим это в первое уравнение: $$a^2 + 2\left(\frac{20}{a}\right)^2 = 57$$ $$a^2 + 2\frac{400}{a^2} = 57$$ $$a^2 + \frac{800}{a^2} = 57$$.

Умножим обе части на $$a^2$$ (предполагая $$a \neq 0$$): $$a^4 + 800 = 57a^2$$ $$a^4 - 57a^2 + 800 = 0$$.

Сделаем замену $$x = a^2$$. Тогда получим квадратное уравнение: $$x^2 - 57x + 800 = 0$$.

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-57)^2 - 4(1)(800) = 3249 - 3200 = 49$$.

Найдем корни $$x$$: $$x_1 = \frac{-(-57) + \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{57+7}{2} = \frac{64}{2} = 32$$. $$x_2 = \frac{-(-57) - \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{57-7}{2} = \frac{50}{2} = 25$$.

Так как $$x=a^2$$, то $$a^2=32$$ или $$a^2=25$$. Если $$a^2=32$$, то $$a = \pm \sqrt{32} = \pm 4\sqrt{2}$$. Если $$a^2=25$$, то $$a = \pm 5$$.

Подставим значения $$a$$ в $$ab=20$$.

Случай 1: $$a = 4\sqrt{2}$$. Тогда $$b = \frac{20}{4\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$. Проверим $$a^2+2b^2=57$$: $$(4\sqrt{2})^2 + 2(\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 = 32 + 2(\frac{25 \cdot 2}{4}) = 32 + 2(\frac{50}{4}) = 32 + 2(12.5) = 32 + 25 = 57$$. Это подходит.

Случай 2: $$a = 5$$. Тогда $$b = \frac{20}{5} = 4$$. Проверим $$a^2+2b^2=57$$: $$5^2 + 2(4^2) = 25 + 2(16) = 25 + 32 = 57$$. Это подходит.

У нас есть два варианта представления $$57-40\sqrt{2}$$. Поскольку мы искали $$(a-b\sqrt{2})^2$$, удобнее взять $$a=5$$ и $$b=4$$, чтобы получить $$(5-4\sqrt{2})^2$$. $$(5-4\sqrt{2})^2 = 5^2 - 2(5)(4\sqrt{2}) + (4\sqrt{2})^2 = 25 - 40\sqrt{2} + 32 = 57-40\sqrt{2}$$.

Таким образом, $$\sqrt{57-40\sqrt{2}} = \sqrt{(5-4\sqrt{2})^2} = |5-4\sqrt{2}|$$.

Сравним $$5$$ и $$4\sqrt{2}$$. Возведем в квадрат: $$5^2 = 25$$ $$(4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$$.

Так как $$25 < 32$$, то $$5 < 4\sqrt{2}$$. Значит, $$5-4\sqrt{2}$$ отрицательно. $$|5-4\sqrt{2}| = -(5-4\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}-5$$.

Теперь рассмотрим второе слагаемое: $$\sqrt{40\sqrt{2}+57}$$.

Представим $$40\sqrt{2}+57$$ в виде $$(c+d\sqrt{2})^2 = c^2+2d^2+2cd\sqrt{2}$$.

$$c^2+2d^2 = 57$$ $$2cd = 40 \nRightarrow cd = 20$$.

Решая аналогично, получим $$c=5, d=4$$ или $$c=4\sqrt{2}, d=\frac{5\sqrt{2}}{2}$$.

Возьмем $$c=5$$ и $$d=4$$. Тогда $$(5+4\sqrt{2})^2 = 5^2 + 2(5)(4\sqrt{2}) + (4\sqrt{2})^2 = 25 + 40\sqrt{2} + 32 = 57+40\sqrt{2}$$.

Значит, $$\sqrt{40\sqrt{2}+57} = \sqrt{(5+4\sqrt{2})^2} = |5+4\sqrt{2}| = 5+4\sqrt{2}$$ (так как $$5+4\sqrt{2}$$ положительно).

Теперь объединим результаты: $$E = (4\sqrt{2}-5) - (5+4\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}-5 - 5 - 4\sqrt{2} = -10$$.

Ответ: -10.