4в. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите сторону ромба, если его меньшая диагональ равна 16 см.

Обозначим сторону ромба через \(a\), а его тупой угол — через \(\alpha\). Рассмотрим основание высоты на противоположной стороне. Проекция стороны ромба на направление этой стороны равна \(a\cos(180^\circ-\alpha)\). Чтобы высота попала в середину противоположной стороны, эта проекция должна быть равна половине стороны:

\(a\cos(180^\circ-\alpha)=a/2\), следовательно, \(\cos(180^\circ-\alpha)=1/2\). Так как \(\alpha\) тупой, получаем \(180^\circ-\alpha=60^\circ\), то есть \(\alpha=120^\circ\).

Диагональ ромба, соединяющая вершины тупых углов, имеет длину \(2a\cos(\alpha/2)\). При \(\alpha=120^\circ\) она равна \(2a\cos60^\circ=a\), а другая диагональ длиннее. Значит, меньшая диагональ равна стороне ромба.

Ответ: 16 см.