4x-1 / x+2 = 2x+12 / x-1

Решение:

Данное уравнение является дробно-рациональным.

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю \( (x+2)(x-1) \).

\( \frac{4x-1}{x+2} = \frac{2x+12}{x-1} \)

Умножим обе части на \( (x+2)(x-1) \), предварительно найдя ОДЗ: \( x \neq -2 \) и \( x \neq 1 \).

\[ (4x-1)(x-1) = (2x+12)(x+2) \]

Раскроем скобки:

\[ 4x^2 - 4x - x + 1 = 2x^2 + 4x + 12x + 24 \]

\[ 4x^2 - 5x + 1 = 2x^2 + 16x + 24 \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ 4x^2 - 2x^2 - 5x - 16x + 1 - 24 = 0 \]

\[ 2x^2 - 21x - 23 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение.

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-23) = 441 + 184 = 625 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 + \sqrt{625}}{2 \cdot 2} = \frac{21 + 25}{4} = \frac{46}{4} = 11.5 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 - 25}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Проверим, не нарушают ли найденные корни ОДЗ. \( x_1 = 11.5 \) и \( x_2 = -1 \) не равны \( -2 \) и \( 1 \). Следовательно, оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: x₁ = 11.5, x₂ = -1.