4x^2 - 28x + 49 / 2x^2 + 5x - 7

Решение:

Данное выражение представляет собой дробь, где числитель и знаменатель являются квадратными трехчленами. Для упрощения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

1. Разложение числителя:

   Числитель: \(4x^2 - 28x + 49\)

   Заметим, что это полный квадрат:

   \( (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 7 + 7^2 = (2x - 7)^2 \)

2. Разложение знаменателя:

   Знаменатель: \(2x^2 + 5x - 7\)

   Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 + 5x - 7 = 0\) с помощью дискриминанта:

   \( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 \)

   \( \sqrt{D} = \sqrt{81} = 9 \)

   Корни:

   \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \)

   \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} \)

   Таким образом, знаменатель раскладывается на множители:

   \( 2x^2 + 5x - 7 = 2(x - 1)(x - (-\frac{7}{2})) = 2(x - 1)(x + \frac{7}{2}) = (x - 1)(2x + 7) \)

3. Сокращение дроби:

   Теперь подставим разложенные выражения в исходную дробь:

   \( \frac{(2x - 7)^2}{(x - 1)(2x + 7)} \)

   В данном случае, после разложения числителя и знаменателя, сократить дробь невозможно, так как нет общих множителей.

Ответ:

\[ \frac{(2x - 7)^2}{(x - 1)(2x + 7)} \]