4x^2+x/3 - 5x-1/6 <= x^2+17/9

Решение:

Чтобы решить данное неравенство, приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3, 6 и 9 равен 18.

1. Умножим обе части неравенства на 18, чтобы избавиться от знаменателей:

\( 18 \cdot \frac{4x^2+x}{3} - 18 \cdot \frac{5x-1}{6} \le 18 \cdot \frac{x^2+17}{9} \)

2. Выполним умножение:

\( 6(4x^2+x) - 3(5x-1) \le 2(x^2+17) \)

3. Раскроем скобки:

\( 24x^2 + 6x - 15x + 3 \le 2x^2 + 34 \)

4. Приведем подобные члены:

\( 24x^2 - 9x + 3 \le 2x^2 + 34 \)

5. Перенесем все члены в левую часть неравенства:

\( 24x^2 - 2x^2 - 9x + 3 - 34 \le 0 \)

\( 22x^2 - 9x - 31 \le 0 \)

6. Найдем корни квадратного трехчлена \( 22x^2 - 9x - 31 = 0 \). Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \).
7. Здесь \( a = 22 \), \( b = -9 \), \( c = -31 \).

\( D = (-9)^2 - 4 \cdot 22 \cdot (-31) = 81 + 2728 = 2809 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{2809} = 53 \)

7. Найдем корни:

\( x_1 = \frac{9 + 53}{2 \cdot 22} = \frac{62}{44} = \frac{31}{22} \)

\( x_2 = \frac{9 - 53}{2 \cdot 22} = \frac{-44}{44} = -1 \)

8. Так как ветви параболы \( y = 22x^2 - 9x - 31 \) направлены вверх, а неравенство \( \le 0 \), то решение будет находиться между корнями (включая корни).

Ответ: \( x \in \left[ -1; \frac{31}{22} \right] \).