5. (1 балл) Найдите корни уравнения: a) (27/8)^(3-x) = (8/27)^x б) log2 x + log4 x + log16 x = 7 в) 3/x - 4/(x+2) = 3

Решение:

а) \( \left(\frac{27}{8}\right)^{3-x} = \left(\frac{8}{27}\right)^x \)

1. Представим дробь \( \frac{8}{27} \) как \( \left(\frac{27}{8}\right)^{-1} \).
2. Уравнение примет вид: \( \left(\frac{27}{8}\right)^{3-x} = \left(\left(\frac{27}{8}\right)^{-1}\right)^x \)
3. Упростим правую часть: \( \left(\frac{27}{8}\right)^{3-x} = \left(\frac{27}{8}\right)^{-x} \)
4. Приравняем показатели степени, так как основания равны: \( 3-x = -x \)
5. Получаем \( 3 = 0 \), что не имеет решений.

б) \( \log_2 x + \log_4 x + \log_{16} x = 7 \)

1. Приведём логарифмы к одному основанию, например, к основанию 2.
2. \( \log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} \)
3. \( \log_{16} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 16} = \frac{\log_2 x}{4} \)
4. Уравнение примет вид: \( \log_2 x + \frac{\log_2 x}{2} + \frac{\log_2 x}{4} = 7 \)
5. Вынесем \( \log_2 x \) за скобки: \( \log_2 x \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = 7 \)
6. Упростим выражение в скобках: \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{4+2+1}{4} = \frac{7}{4} \)
7. Получаем: \( \log_2 x \cdot \frac{7}{4} = 7 \)
8. Разделим обе части на \( \frac{7}{4} \): \( \log_2 x = 7 \cdot \frac{4}{7} \)
9. \( \log_2 x = 4 \)
10. Перейдём к показательной форме: \( x = 2^4 \)
11. \( x = 16 \)

в) \( \frac{3}{x} - \frac{4}{x+2} = 3 \)

1. Приведём дроби к общему знаменателю \( x(x+2) \) и раскроем скобки в числителе: \( \frac{3(x+2) - 4x}{x(x+2)} = 3 \)
2. \( \frac{3x + 6 - 4x}{x^2 + 2x} = 3 \)
3. \( \frac{6 - x}{x^2 + 2x} = 3 \)
4. Перенесём всё в одну часть: \( \frac{6 - x}{x^2 + 2x} - 3 = 0 \)
5. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{6 - x - 3(x^2 + 2x)}{x^2 + 2x} = 0 \)
6. \( \frac{6 - x - 3x^2 - 6x}{x^2 + 2x} = 0 \)
7. \( \frac{-3x^2 - 7x + 6}{x^2 + 2x} = 0 \)
8. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю): \( -3x^2 - 7x + 6 = 0 \)
9. Умножим на -1: \( 3x^2 + 7x - 6 = 0 \)
10. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 \)
11. \( \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 \)
12. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
13. \( x_2 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3 \)
14. Проверим знаменатель: \( x(x+2) \neq 0 \), значит \( x \neq 0 \) и \( x \neq -2 \). Оба корня подходят.

Ответ: а) нет решений; б) 16; в) \( \frac{2}{3}, -3 \).