5. 1. Даны два угла AOB и BOC с общей вершиной. Стороны одного угла перпендикулярны к сторонам другого (рис. 34). Найдите эти углы, если разность между ними равна прямому углу. 2. Углы AOB и BOC смежные, OM — биссектриса угла AOB, луч ON принадлежит внутренней области угла BOC и перпендикулярен OM. Является ли ON биссектрисой угла BOC? Почему?

1. Если стороны углов попарно перпендикулярны, то углы либо равны, либо в сумме составляют 180°. Поскольку их разность равна 90°, равными они быть не могут.

Обозначим больший угол через x, меньший — через y. Тогда x + y = 180° и x − y = 90°. Складываем равенства: 2x = 270°, поэтому x = 135°. Тогда y = 180° − 135° = 45°.

2. Пусть ∠AOB = α. Так как углы смежные, ∠BOC = 180° − α. Биссектриса OM делит ∠AOB пополам, поэтому ∠MOB = α/2.

Поскольку ON лежит внутри ∠BOC и перпендикулярен OM, угол между OB и ON равен 90° − α/2. Угол между ON и OC равен (180° − α) − (90° − α/2) = 90° − α/2. Эти углы равны, следовательно, ON — биссектриса ∠BOC.

Ответ: 1) 135° и 45°; 2) да, ON — биссектриса ∠BOC.