5.1 Найти производные 5.1.5 a) y = 8x^3 - 3 * ⁵√x⁴ - 1/x² + ³√3

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = 8x^3 - 3 ∕ x^4 - \frac{1}{x^2} + ³\sqrt{3} \) воспользуемся правилами дифференцирования:

1. Производная степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \).
2. Производная константы равна нулю: \( (C)' = 0 \).
3. Производная суммы/разности равна сумме/разности производных: \( (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x) \).
4. Производная произведения константы на функцию: \( (C · f(x))' = C · f'(x) \).

Перепишем функцию, используя свойства корней и степеней:

\( y = 8x^3 - 3x^{4/5} - x^{-2} + 3^{1/3} \)

Теперь найдём производную:

\( y' = (8x^3)' - (3x^{4/5})' - (x^{-2})' + (3^{1/3})' \)

\( y' = 8 · 3x^{3-1} - 3 · \frac{4}{5}x^{\frac{4}{5}-1} - (-2)x^{-2-1} + 0 \)

\( y' = 24x^2 - \frac{12}{5}x^{-\frac{1}{5}} + 2x^{-3} \)

Вернёмся к записи с корнями и степенями:

\( y' = 24x^2 - \frac{12}{5} · \frac{1}{x^{1/5}} + \frac{2}{x^3} \)

\( y' = 24x^2 - \frac{12}{5µ√ x} + \frac{2}{x^3} \)

Ответ: \( y' = 24x^2 - \frac{12}{5µ√ x} + \frac{2}{x^3} \).