5.1. Три прямые AB, CD и NM пересекаются в точке O (рис. 1). Докажите, что CD ⟂ NM, если: 1) ∠COM = ∠AOC + ∠MOB; 2) ∠AOM = 135°, OB — биссектриса угла MOD. При решении задания необходимо сделать рисунок.

Question

Вопрос:

Фото задания: 5.1. Три прямые AB, CD и NM пересекаются в точке O (рис. 1). Докажите, что CD ⟂ NM, если: 1) ∠COM = ∠AOC + ∠MOB; 2) ∠AOM =…

5.1. Три прямые AB, CD и NM пересекаются в точке O (рис. 1). Докажите, что CD ⟂ NM, если: 1) ∠COM = ∠AOC + ∠MOB; 2) ∠AOM = 135°, OB — биссектриса угла MOD. При решении задания необходимо сделать рисунок.

Accepted Answer

На фотографии не виден рис. 1. Ниже доказательства для стандартного расположения лучей, подразумеваемого условиями: в пункте 1 лучи OA, OC, OM, OB идут подряд внутри развёрнутого угла AOB; в пункте 2 луч OB лежит внутри угла MOD.

1) Обозначим ∠AOC = x, ∠COM = y, ∠MOB = z. Поскольку OA и OB — противоположные лучи, ∠AOB = 180°, поэтому x + y + z = 180°. По условию y = x + z. Следовательно, 2y = 180°, откуда y = 90°. Значит, OC ⟂ OM, а прямые CD и NM перпендикулярны.

Схема к пункту 1:

2) Так как OA и OB — противоположные лучи, углы AOM и MOB смежные. Поэтому ∠MOB = 180° − 135° = 45°. Луч OB — биссектриса угла MOD, значит, ∠BOD = ∠MOB = 45°. Тогда ∠MOD = 45° + 45° = 90°. Следовательно, OM ⟂ OD, а прямые NM и CD перпендикулярны.

Схема к пункту 2:

Ответ: в обоих случаях CD ⟂ NM.

Если расположение лучей на рис. 1 отличается от указанного, пришлите рисунок целиком: для геометрического доказательства важно знать, какие лучи лежат внутри соответствующих углов.