5.1. Три прямые AB, CD и NM пересекаются в точке O (рис. 1). Докажите, что CD ⟂ NM, если: 1) ∠COM = ∠AON + ∠DOB; 2) ∠COB = 135°, OA — биссектриса угла CON. При решении задания необходимо сделать рисунок. Пункты 1) и 2) решать независимо друг от друга.

1) Рисунок 1 не попал в изображение. Для доказательства по условию с обычными (неориентированными) углами необходимо знать расположение лучей вокруг точки O: без него равенство углов не позволяет однозначно определить, какие углы складываются. Пришлите рисунок 1 целиком — тогда можно выполнить доказательство и построить соответствующий чертёж.

2) Так как OB и OA — противоположные лучи, углы COB и COA смежные:

∠COA = 180° − 135° = 45°.

OA — биссектриса угла CON, поэтому ∠AON = ∠COA = 45°. Следовательно, ∠CON = 45° + 45° = 90°. Значит, прямые CD и NM перпендикулярны: лучи OC и ON лежат на этих прямых и образуют прямой угол.

Во втором пункте доказано: CD ⟂ NM.