5.1. В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, ∠BAC = ∠DAC. Найдите AD, если периметр трапеции равен 35, а ∠D = 60°. При выполнении задания необходимо сделать рисунок.

Так как основания трапеции параллельны, AB — биссектриса угла BAD, а диагональ AC перпендикулярна CD.

1. Находим соотношения сторон. Пусть CD = x. Из ∠D = 60° высота трапеции равна x·sin 60° = (√3/2)x, а горизонтальная проекция CD равна x/2.

Поскольку AC ⟂ CD, проекция отрезка AC на горизонталь равна √3 умножить на его вертикальную составляющую. Поэтому AD − x/2 = √3·(√3x/2) = 3x/2, откуда AD = 2x.

В прямоугольном треугольнике ACD угол DAC равен 30°: ∠ACD = 30°, поскольку ∠ACD и ∠D дополняют друг друга до 90°. По условию ∠BAC = ∠DAC = 30°, следовательно, ∠BAD = 60°. Так как ∠DAB = 60° и ∠D = 60°, трапеция равнобедренная, поэтому AB = CD = x. Из равенства оснований и углов следует BC = AD − 2·(x/2) = x.

2. Используем периметр. Периметр равен AD + AB + BC + CD = 2x + x + x + x = 5x. Тогда 5x = 35, x = 7, и AD = 2·7 = 14.

Ответ: AD = 14.