5.1 Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 30 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 5 секунд торможения?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию, где первый член \(a_1 = 30\) м, а разность прогрессии \(d = -4\) м.

Нам нужно найти сумму первых 5 членов прогрессии \(S_5\).

1. Найдем расстояние, пройденное автомобилем за каждую секунду:
   • 1-я секунда: \(a_1 = 30\) м
   • 2-я секунда: \(a_2 = 30 - 4 = 26\) м
   • 3-я секунда: \(a_3 = 26 - 4 = 22\) м
   • 4-я секунда: \(a_4 = 22 - 4 = 18\) м
   • 5-я секунда: \(a_5 = 18 - 4 = 14\) м
2. Сложим пройденные расстояния:
   \(S_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 30 + 26 + 22 + 18 + 14\)
3. Выполним сложение:
   \(S_5 = 30 + 26 + 22 + 18 + 14 = 110\) м
4. Можно также использовать формулу суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\)
   \(S_5 = \frac{5}{2}(2 \cdot 30 + (5-1)(-4)) = \frac{5}{2}(60 + 4(-4)) = \frac{5}{2}(60 - 16) = \frac{5}{2}(44) = 5 \cdot 22 = 110\) м

Ответ: Автомобиль прошёл 110 метров за первые 5 секунд торможения.