5.12. (sin^2 a + tg^2 a * sin^2 a) * ctg a ;

Привет! Давай разберемся с этим примером по тригонометрии.

Разбор выражения:

Нам нужно упростить выражение: $$\left(\sin^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha\right) \cdot \operatorname{ctg} \alpha$$

1. Вынесем общий множитель: Из скобки можно вынести $$\sin^2 \alpha$$:

$$ \sin^2 \alpha \left(1 + \operatorname{tg}^2 \alpha\right) \cdot \operatorname{ctg} \alpha $$

2. Используем основное тригонометрическое тождество: Мы знаем, что $$\ 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$

Подставляем это в выражение:

$$ \sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} \cdot \operatorname{ctg} \alpha $$

3. Преобразуем: Теперь выражение выглядит как:

$$ \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 \cdot \operatorname{ctg} \alpha $$

Мы знаем, что $$\ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$$, поэтому:

$$ \operatorname{tg}^2 \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha $$

4. Используем взаимно обратные функции: Так как $$\ \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha}$$ (и наоборот), их произведение равно 1:

$$ \operatorname{tg}^2 \alpha \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} \alpha $$

Или, если представить через синус и косинус:

$$ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha $$

Примечание: Важно помнить, что $$\operatorname{tg} \alpha$$ и $$\operatorname{ctg} \alpha$$ не определены, когда $$\cos \alpha = 0$$ или $$\sin \alpha = 0$$ соответственно.

Ответ: $$ \operatorname{tg} \alpha $$