5.13. Точки M и K — соответственно середины сторон AB и BC ромба ABCD. Докажите, что MD = KD.

Обозначим через \(a\) длину стороны ромба, а через \(\theta=\angle DAB\). Выберем координаты: \(A=(0,0)\), \(B=(a,0)\), \(D=(a\cos\theta,a\sin\theta)\). Тогда \(C=(a+a\cos\theta,a\sin\theta)\).

Поскольку M — середина AB, имеем \(M=(a/2,0)\). Поскольку K — середина BC, имеем \(K=(a+a\cos\theta/2,a\sin\theta/2)\).

По формуле расстояния:

\(MD^2=(a\cos\theta-a/2)^2+(a\sin\theta)^2=a^2(5/4-\cos\theta).\)

\(KD^2=(a\cos\theta/2-a)^2+(a\sin\theta/2)^2=a^2(5/4-\cos\theta).\)

Следовательно, \(MD^2=KD^2\). Длины отрезков неотрицательны, поэтому \(MD=KD\), что и требовалось доказать.