5.16. На рисунке 5.16 ∠ABD = ∠FBK, ∠DBF = ∠KBC. Докажите, что BF ⟂ AC.

Так как точки A, B и C лежат на одной прямой, угол ABC — развёрнутый, то есть его величина равна 180°.

Обозначим ∠ABD = x, ∠DBF = y, ∠FBK = z. По условию ∠ABD = ∠FBK, поэтому x = z. Также ∠DBF = ∠KBC, поэтому y = ∠KBC.

Соседние углы ∠ABD, ∠DBF, ∠FBK и ∠KBC составляют развёрнутый угол ABC. Следовательно, x + y + z + ∠KBC = 180°. Подставляя равные углы, получаем 2x + 2y = 180°, откуда x + y = 90°.

Угол ABF равен ∠ABD + ∠DBF = x + y = 90°. Значит, BF перпендикулярна прямой AB. Поскольку AB лежит на прямой AC, получаем BF ⟂ AC.

Что и требовалось доказать.