5.163. Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 6 км от места отправления. Первый идёт со скоростью 4,5 км/ч, а второй скоростью 5,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. Сколько метров от опушки до места их встречи?

Расстояние до опушки $$S = 6$$ км. Скорость первого человека $$v_1 = 4.5$$ км/ч, второго $$v_2 = 5.5$$ км/ч. Время первого до опушки $$t_1 = S/v_1 = 6/4.5 = 4/3$$ часа. Время второго до опушки $$t_2 = S/v_2 = 6/5.5 = 12/11$$ часа. Второй человек возвращается со скоростью $$v_2 = 5.5$$ км/ч. Встреча произойдет, когда второй человек, пройдя 6 км до опушки, начнет возвращаться. Пусть встреча произойдет через время $$T$$ после старта. Расстояние, пройденное первым: $$d_1 = v_1 T$$. Расстояние, пройденное вторым: $$d_2 = v_2 t_2 + v_2 (T - t_2) = v_2 T$$. Встреча произойдет, когда сумма пройденных расстояний будет равна удвоенному расстоянию до опушки, если они движутся навстречу друг другу. Однако, второй возвращается. Встреча произойдет, когда первый дойдет до опушки, а второй будет возвращаться. Время первого до опушки: $$t_1 = 6 / 4.5 = 4/3$$ часа. За это время второй пройдет $$d_2 = 5.5 * (4/3) = 22/3$$ км. Второй человек будет на расстоянии $$6 - 22/3 = (18-22)/3 = -4/3$$ км от опушки, что означает, что он уже прошел опушку и находится на расстоянии $$22/3 - 6 = 4/3$$ км от опушки в сторону дома. Первый человек находится на опушке. Расстояние между ними $$4/3$$ км. Теперь они движутся навстречу друг другу. Скорость сближения $$v_1 + v_2 = 4.5 + 5.5 = 10$$ км/ч. Время до встречи после того, как первый достиг опушки: $$t_{meet} = (4/3) / 10 = 4/30 = 2/15$$ часа. За это время первый пройдет $$d_{meet1} = 4.5 * (2/15) = 9/30 = 0.3$$ км от опушки. Второй пройдет $$5.5 * (2/15) = 11/30$$ км в сторону дома от своего положения. Его положение будет $$6 - 11/30 = (180-11)/30 = 169/30$$ км от старта. Расстояние от опушки до места встречи: $$6 - 169/30 = (180-169)/30 = 11/30$$ км. Переведем в метры: $$(11/30) * 1000 = 1100/3 = 366.67$$ метров. Проверим: Время второго до опушки $$t_2 = 6/5.5 = 12/11$$ часа. Время первого до опушки $$t_1 = 6/4.5 = 4/3$$ часа. $$t_1 > t_2$$. Первый человек достигнет опушки через $$4/3$$ часа. Второй человек достигнет опушки через $$12/11$$ часа и начнет возвращаться. Встреча произойдет после того, как второй достигнет опушки. Пусть встреча произойдет через $$t$$ часов после старта. Первый пройдет $$4.5t$$. Второй пройдет $$5.5t$$ до опушки и затем вернется. Встреча произойдет, когда первый будет на расстоянии $$x$$ от опушки, а второй будет на расстоянии $$x$$ от опушки, но двигаясь в противоположном направлении. Пусть встреча произойдет на расстоянии $$x$$ от опушки. Время первого до встречи: $$t_1' = (6-x)/4.5$$. Время второго до опушки: $$t_2 = 6/5.5 = 12/11$$ ч. Время второго от опушки до встречи: $$t_2' = x/5.5$$. Общее время второго: $$t_2 + t_2' = 12/11 + x/5.5$$. Время первого и второго должно быть равно: $$(6-x)/4.5 = 12/11 + x/5.5$$. Умножим на $$99$$: $$22(6-x) = 108 + 18x$$. $$132 - 22x = 108 + 18x$$. $$24 = 40x$$. $$x = 24/40 = 0.6$$ км. Расстояние от опушки до места встречи: 0.6 км = 600 метров.