((5^2 * 5^3)^4) / ((5 * 5^5)^3)

Решение:

Нам нужно упростить выражение:

\[ \frac{(5^2 \cdot 5^3)^4}{(5 \cdot 5^5)^3} \]

Шаг 1: Упрощаем числитель.

Используем свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)

\[ (5^2 \cdot 5^3)^4 = (5^{2+3})^4 = (5^5)^4 \]

Теперь используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)

\[ (5^5)^4 = 5^{5 \cdot 4} = 5^{20} \]

Шаг 2: Упрощаем знаменатель.

Сначала упростим выражение в скобках:

\[ 5 \cdot 5^5 = 5^1 \cdot 5^5 = 5^{1+5} = 5^6 \]

Теперь возведем в степень:

\[ (5^6)^3 = 5^{6 \cdot 3} = 5^{18} \]

Шаг 3: Делим числитель на знаменатель.

Теперь у нас есть:

\[ \frac{5^{20}}{5^{18}} \]

Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

\[ 5^{20-18} = 5^2 \]

Шаг 4: Вычисляем окончательный результат.

\[ 5^2 = 25 \]

Ответ: 25