(5√2 + 6√3)(6√2 - 5√3)

Решение:

Для решения этого примера раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения (каждый член первой скобки умножается на каждый член второй скобки):

\( (5\sqrt{2} + 6\sqrt{3})(6\sqrt{2} - 5\sqrt{3}) \)

1. Умножим \( 5\sqrt{2} \) на \( 6\sqrt{2} \): \( 5\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} = (5 \cdot 6) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 30 \cdot 2 = 60 \)
2. Умножим \( 5\sqrt{2} \) на \( -5\sqrt{3} \): \( 5\sqrt{2} \cdot (-5\sqrt{3}) = (5 \cdot -5) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) = -25\sqrt{6} \)
3. Умножим \( 6\sqrt{3} \) на \( 6\sqrt{2} \): \( 6\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{2} = (6 \cdot 6) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}) = 36\sqrt{6} \)
4. Умножим \( 6\sqrt{3} \) на \( -5\sqrt{3} \): \( 6\sqrt{3} \cdot (-5\sqrt{3}) = (6 \cdot -5) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = -30 \cdot 3 = -90 \)
5. Сложим полученные результаты: \( 60 - 25\sqrt{6} + 36\sqrt{6} - 90 \)
6. Приведём подобные слагаемые: \( (60 - 90) + (-25\sqrt{6} + 36\sqrt{6}) = -30 + 11\sqrt{6} \)

Ответ: \( 11\sqrt{6} - 30 \).