(\(5^2\))^6 (5^7 : 5^4) --------- \((-125)^5\)

Решение:

1. Упрощаем числитель:

   Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: The rule for multiplying powers with the same base is: $$a^m \times a^n = a^{m+n}$$

   Используем правило возведения степени в степень: The rule for raising a power to a power is: $$(a^m)^n = a^{m \times n}$$

   \[ (5^2)^6 = 5^{2 \times 6} = 5^{12} \]

   \[ 5^7 : 5^4 = 5^{7-4} = 5^3 \]

   \[ 5^{12} \times 5^3 = 5^{12+3} = 5^{15} \]

2. Упрощаем знаменатель:

   Представим to as a power of 5: $$-125 = -5^3$$

   \[ (-125)^5 = (-5^3)^5 = -(5^3)^5 = -5^{3 \times 5} = -5^{15} \]

3. Выполняем деление:

   Теперь у нас есть:

   \[ \frac{5^{15}}{-5^{15}} \]

   Когда мы делим одинаковые числа, результат равен 1. Знак минус в знаменателе делает результат отрицательным.

   \[ \frac{5^{15}}{-5^{15}} = -1 \]

Ответ: -1