5.(2 балла) Найдите производную функции: 1) f(x) = -3x7 + 5ex + 4x - 6;. 2)f(x) = x5 cosx.

Решение:

1) Производная функции \( f(x) = -3x^7 + 5e^x + 4x - 6 \)

Используем правила дифференцирования:

• Производная от \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \).
• Производная от \( e^x \) равна \( e^x \).
• Производная от константы равна 0.

Применяем правила к каждому члену:

• Производная от \( -3x^7 \) равна \( -3 · 7x^{7-1} = -21x^6 \).
• Производная от \( 5e^x \) равна \( 5e^x \).
• Производная от \( 4x \) равна \( 4 \).
• Производная от \( -6 \) равна \( 0 \).

Складываем производные:

\[ f'(x) = -21x^6 + 5e^x + 4 \]

2) Производная функции \( f(x) = x^5 · · cos x \)

Используем правило дифференцирования произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = x^5 \) и \( v = · cos x \).

• Производная от \( u = x^5 \) равна \( u' = 5x^4 \).
• Производная от \( v = · cos x \) равна \( v' = -· sin x \).

Подставляем в формулу:

\[ f'(x) = (5x^4)(· cos x) + (x^5)(-· sin x) \]

Упрощаем выражение:

\[ f'(x) = 5x^4 · cos x - x^5 · sin x \]

Вынесем общий множитель \( x^4 \):

\[ f'(x) = x^4 (5 · cos x - x · sin x) \]

Ответ: 1) \( f'(x) = -21x^6 + 5e^x + 4 \); 2) \( f'(x) = 5x^4 · cos x - x^5 · sin x \)