5.2. В параллелограмме ABCD через точку пересечения его диагоналей O проведена прямая NM, параллельная стороне BC. Докажите, что NM проходит через середины сторон AB и CD. При выполнении задания необходимо сделать рисунок.

Обозначим \(N=AB\cap NM\), \(M=CD\cap NM\). Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(O\) — середина диагонали \(BD\).

Рассмотрим треугольник \(ABD\). Через середину \(BD\) проведена прямая \(NM\parallel BC\), а в параллелограмме \(BC\parallel AD\). Значит, \(NM\parallel AD\). По теореме о средней линии треугольника прямая, проходящая через середину одной стороны и параллельная второй стороне, пересекает третью сторону в её середине. Следовательно, \(N\) — середина \(AB\).

Поскольку диагонали параллелограмма делятся пополам, \(O\) — также середина \(AC\). В треугольнике \(ACD\) прямая через середину \(AC\), параллельная \(AD\), пересекает \(CD\) в середине. Поэтому \(M\) — середина \(CD\). Что и требовалось доказать.