5.2. В параллелограмме ABCD через точку пересечения его диагоналей O проведена прямая, параллельная стороне AB. Докажите, что эта прямая проходит через середины сторон BC и AD. При выполнении задания необходимо сделать рисунок.

Обозначим через M и N точки пересечения проведённой прямой со сторонами AD и BC соответственно. Пусть \(\overrightarrow{AB}=\mathbf{u}\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf{v}\). Возьмём точку A за начало отсчёта.

1. Тогда \(B=\mathbf{u}\), \(D=\mathbf{v}\), \(C=\mathbf{u}+\mathbf{v}\). Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(O=\frac{\mathbf{u}+\mathbf{v}}{2}\).
2. Поскольку прямая через O параллельна AB, её направление задаёт вектор \(\mathbf{u}\). Точка на ней имеет вид \(O+t\mathbf{u}\).
3. Для пересечения со стороной AD должно выполняться \(O+t\mathbf{u}=s\mathbf{v}\). Сравнивая коэффициенты при \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\), получаем \(t=-\frac12\), \(s=\frac12\). Значит, \(M=\frac12\mathbf{v}\), то есть M — середина AD.
4. Для пересечения со стороной BC имеем \(O+t\mathbf{u}=\mathbf{u}+s\mathbf{v}\). Сравнение коэффициентов даёт \(t=\frac12\), \(s=\frac12\). Следовательно, \(N=\mathbf{u}+\frac12\mathbf{v}\), то есть N — середина BC.

Таким образом, прямая через O, параллельная AB, пересекает обе стороны AD и BC в их серединах.