5.2. Запишите в виде равенства или неравенств соотношения между координатами заданных точек. 1. На координатной оси Ox: а) точки, удалённые от P(−3) на расстояние 4; б) точка, симметричная точке A(2) относительно точки B(8); в) точка, делящая отрезок [2, 5] в соотношении 1 : 2; г) точки, отстоящие от множества точек отрезка [2, 5] не более чем на 3. 2. На координатной плоскости xOy: а) точка, симметричная точке P(2; 8) относительно оси Oy; б) точки, равноудалённые от осей координат; в) точки, расположенные слева от прямой x = 2 и справа от прямой x = 0; г) точки, удалённые от точки P(0, 2) на расстояние 3. 3. В координатном пространстве (x; y; z): а) точка, симметричная точке P(1; −2; 4) относительно начала координат; б) точка, симметричная точке P(4; −1; −3) относительно оси Ox; в) точка, симметричная точке P(0; 1,5; 4) относительно плоскости xOy; г) точки, лежащие в третьем октанте; д) точки, все координаты которых отрицательны.

1.

1. Расстояние от координаты x до −3 равно 4: \(|x+3|=4\), значит, \(x=1\) или \(x=-7\).
2. Точка B(8) — середина отрезка между A(2) и искомой точкой x. Поэтому \((2+x)/2=8\), откуда \(x=14\).
3. Для точки, делящей отрезок от 2 до 5 в отношении 1 : 2, расстояния до концов относятся как 1 : 2. Получаем \((x-2):(5-x)=1:2\), откуда \(2(x-2)=5-x\), \(x=3\).
4. Множество точек отрезка — \([2,5]\). Точки на расстоянии не более 3 от него образуют \([2-3,5+3]=[-1,8]\), то есть \(-1\le x\le 8\).

2.

1. При симметрии относительно Oy меняется знак x, а y сохраняется: \((-2;8)\).
2. Расстояния до осей равны: \(|x|=|y|\), или \(y=x\) либо \(y=-x\).
3. Слева от \(x=2\) и справа от \(x=0\): \(0<x<2\); координата y произвольна.
4. Расстояние до \((0;2)\) равно 3: \(x^2+(y-2)^2=9\).

3.

1. Симметрия относительно начала координат меняет знаки всех координат: \((-1;2;-4)\).
2. При симметрии относительно Ox координата x сохраняется, а y и z меняют знаки: \((4;1;3)\).
3. При симметрии относительно xOy координаты x и y сохраняются, z меняет знак: \((0;1{,}5;-4)\).
4. В третьем октанте \(x<0, y<0, z>0\).
5. Все координаты отрицательны: \(x<0, y<0, z<0\).