5. (20 баллов) В сосуд с водой опущен шарик, подвешенный на пружине жёсткостью k = 100 Н/м. Шарик полностью находится в воде. Плотность шарика ρ = 4000 кг/м³, объём V = 200 см³, плотность воды ρв = 1000 кг/м³. Ускорение свободного падения g = 10 Н/кг. Затем пружину снимают, разрезают на три равные части и берут одну из них. На эту новую пружину снова подвешивают тот же шарик и опускают его в воду так, что он опять полностью погружён. На сколько сантиметров изменится удлинение пружины? Во всех случаях считайте, что шарик остаётся полностью в воде.

В равновесии пружина уравновешивает силу тяжести шарика за вычетом выталкивающей силы воды.

Переведём объём в кубические метры: \(V = 200\,\text{см}^3 = 2 \cdot 10^{-4}\,\text{м}^3\).

Равнодействующая силы тяжести и архимедовой силы:

\(F = \rho Vg - \rho_{в}Vg = (\rho - \rho_{в})Vg\).

\(F = (4000 - 1000)\cdot 2\cdot 10^{-4}\cdot 10 = 6\,\text{Н}\).

Для исходной пружины по закону Гука:

\(x_1 = \frac{F}{k} = \frac{6}{100} = 0.06\,\text{м} = 6\,\text{см}\).

Жёсткость пружины обратно пропорциональна её длине. После разрезания на три равные части жёсткость одной части втрое больше: \(k_2 = 3k = 300\,\text{Н/м}\).

Удлинение новой пружины:

\(x_2 = \frac{F}{k_2} = \frac{6}{300} = 0.02\,\text{м} = 2\,\text{см}\).

Изменение удлинения: \(x_2 - x_1 = 2 - 6 = -4\,\text{см}\).

Ответ: удлинение уменьшится на 4 см.