5.22. Точки E и F — середины соответственно рёбер AB и BC куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 5.24). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E и F и параллельной прямой DD₁. Вычислите периметр сечения, если ребро куба равно a.

1. Через E и F проведём прямые, параллельные DD₁. Они пересекут рёбра A₁B₁ и B₁C₁ соответственно в их серединах E₁ и F₁.
2. Соединим E, F, F₁ и E₁. Полученный четырёхугольник EFF₁E₁ — прямоугольное сечение: его боковые стороны параллельны DD₁, а EF лежит в основании куба.
3. Поскольку E и F — середины сторон AB и BC треугольника ABC, EF — его средняя линия. Поэтому \(EF=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\).
4. Вертикальные стороны сечения равны ребру куба, то есть a. Следовательно, \(P=2\left(a+\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)=(2+\sqrt{2})a\).

Ответ: сечение — прямоугольник EFF₁E₁; его периметр равен \((2+\sqrt{2})a\).