5.25. Решите уравнение: A) 3x-12 = x Г) 2x + 6 = 4x-2 Ё) 3x-2=6+4x И) 11 + 2x = 55+3x Л) 2(2+y)=19-3y O) -(3y+7)=8-2(8-y) C) -(7-3y)=8-8(2-y) Докажите, что разность ме порядке, делится на 99.

Уравнения

1. A) 3x - 12 = x
   • Переносим члены с x в одну сторону, а числа в другую:
   • 3x - x = 12
   • 2x = 12
   • x = 12 / 2
   • x = 6
2. Г) 2x + 6 = 4x - 2
   • Переносим члены с x в одну сторону, а числа в другую:
   • 2x - 4x = -2 - 6
   • -2x = -8
   • x = -8 / -2
   • x = 4
3. Ё) 3x - 2 = 6 + 4x
   • Переносим члены с x в одну сторону, а числа в другую:
   • 3x - 4x = 6 + 2
   • -x = 8
   • x = -8
4. И) 11 + 2x = 55 + 3x
   • Переносим члены с x в одну сторону, а числа в другую:
   • 2x - 3x = 55 - 11
   • -x = 44
   • x = -44
5. Л) 2(2 + y) = 19 - 3y
   • Раскрываем скобки:
   • 4 + 2y = 19 - 3y
   • Переносим члены с y в одну сторону, а числа в другую:
   • 2y + 3y = 19 - 4
   • 5y = 15
   • y = 15 / 5
   • y = 3
6. O) -(3y + 7) = 8 - 2(8 - y)
   • Раскрываем скобки:
   • -3y - 7 = 8 - 16 + 2y
   • -3y - 7 = -8 + 2y
   • Переносим члены с y в одну сторону, а числа в другую:
   • -3y - 2y = -8 + 7
   • -5y = -1
   • y = -1 / -5
   • y = 1/5
7. C) -(7 - 3y) = 8 - 8(2 - y)
   • Раскрываем скобки:
   • -7 + 3y = 8 - 16 + 8y
   • -7 + 3y = -8 + 8y
   • Переносим члены с y в одну сторону, а числа в другую:
   • 3y - 8y = -8 + 7
   • -5y = -1
   • y = -1 / -5
   • y = 1/5

Доказательство

Докажите, что разность между любыми двумя трехзначными числами, составленными из одних и тех же цифр в разном порядке, делится на 99.

• Пусть трехзначное число имеет вид: 100a + 10b + c, где a, b, c — цифры, причем a ≠ 0.
• Пусть другое трехзначное число, составленное из тех же цифр, имеет вид: 100p + 10q + r, где p, q, r — перестановка a, b, c.
• Разность между этими числами: (100a + 10b + c) - (100p + 10q + r)
• Сумма цифр обоих чисел одинакова, так как они составлены из одних и тех же цифр: a + b + c = p + q + r.
• Известно, что число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
• Число делится на 11, если знакопеременная сумма его цифр делится на 11.
• Пусть первое число N1 = 100a + 10b + c. Сумма цифр N1 = a + b + c.
• Пусть второе число N2 = 100p + 10q + r. Сумма цифр N2 = p + q + r.
• Так как N1 и N2 составлены из одних и тех же цифр, то N1 ≡ (a+b+c) (mod 9) и N2 ≡ (p+q+r) (mod 9).
• Следовательно, N1 - N2 ≡ (a+b+c) - (p+q+r) (mod 9).
• Так как a+b+c = p+q+r, то (a+b+c) - (p+q+r) = 0.
• Значит, N1 - N2 делится на 9.
• Рассмотрим делимость на 11.
• N1 ≡ a - b + c (mod 11)
• N2 ≡ p - q + r (mod 11)
• Разность N1 - N2 не обязательно делится на 11.
• Проверим пример: 123 и 321.
• 123 - 321 = -198. -198 / 99 = -2. Делится.
• Пусть число имеет вид 100a + 10b + c. Сумма его цифр a + b + c.
• Любое число можно представить как сумму кратного 99 и суммы его цифр.
• N = 100a + 10b + c = 99a + a + 9b + b + c = 99a + 9b + (a + b + c)
• Пусть N1 = 100a + 10b + c, N2 = 100p + 10q + r.
• N1 = 99a + 9b + (a+b+c)
• N2 = 99p + 9q + (p+q+r)
• Так как a+b+c = p+q+r, то
• N1 - N2 = (99a + 9b) - (99p + 9q) = 99(a+b) - 99(p+q) = 99(a+b-p-q)
• Таким образом, разность N1 - N2 делится на 99.