5. 3 sin²x - 4sin x cos x + 5 cos² x = 2.

Решение:

1. Заменим правую часть уравнения, 2, на \( 2( \sin^2 x + \cos^2 x ) \) по основному тригонометрическому тождеству: \( 3\sin^2 x - 4\sin x \cos x + 5\cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) \)
2. Раскроем скобки: \( 3\sin^2 x - 4\sin x \cos x + 5\cos^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x \)
3. Перенесём все члены уравнения в левую часть: \( (3\sin^2 x - 2\sin^2 x) - 4\sin x \cos x + (5\cos^2 x - 2\cos^2 x) = 0 \)
4. Упростим: \( \sin^2 x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0 \)
5. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \) (предполагая, что \( \cos x \neq 0 \)). Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), и тогда \( \sin x = \pm 1 \). Подставим в полученное уравнение: \( (\pm 1)^2 - 4(\pm 1) \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0 \) → \( 1 = 0 \), что неверно. Значит, \( \cos x \neq 0 \).
6. Разделив на \( \cos^2 x \), получим: \( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)
7. Упростим, используя \( \tan x \): \( \tan^2 x - 4\tan x + 3 = 0 \)
8. Сделаем замену: пусть \( t = \tan x \). Получим \( t^2 - 4t + 3 = 0 \).
9. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \). \( \sqrt{D} = 2 \).
10. Корни уравнения: \( t_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \) и \( t_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \).
11. Вернёмся к замене: \( \tan x = 3 \) или \( \tan x = 1 \).
12. Решим каждое из уравнений:
• \( \tan x = 3 \) → \( x = \arctan(3) + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.
• \( \tan x = 1 \) → \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \arctan(3) + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \).