5.3. Упростите выражение: \(\left(b+3-\frac{b^3-9}{b(b-2)}+\frac{4}{b}\right):\left(1+\frac{1}{b^2-2b}\right)\cdot\frac{b^2+2b+1}{1+\frac{1}{b}}\).

Учитываем область допустимых значений: знаменатели не должны обращаться в ноль, а делитель — быть равным нулю. Поэтому \(b\ne 0,\ 2,\ -1,\ 1\).

Упростим первую скобку, приведя слагаемые к общему знаменателю:

\[b+3-\frac{b^3-9}{b(b-2)}+\frac{4}{b}=\frac{b(b-2)(b+3)-(b^3-9)+4(b-2)}{b(b-2)}=\frac{(b-1)^2}{b(b-2)}.\]

Упростим вторую скобку:

\[1+\frac{1}{b^2-2b}=\frac{b^2-2b+1}{b(b-2)}=\frac{(b-1)^2}{b(b-2)}.\]

Значит, деление первых двух скобок даёт 1. Последнюю дробь преобразуем:

\[\frac{b^2+2b+1}{1+\frac{1}{b}}=\frac{(b+1)^2}{\frac{b+1}{b}}=b(b+1).\]

Ответ: \(b(b+1)\), где \(b\ne -1,0,1,2\).