5.3. В параллелограмме ABCD на сторонах AB и CD отмечены точки M и N соответственно так, что AM = CN, причём AM:MB = 2:3. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, а сторона BC = 10 см. 1) Докажите, что четырёхугольник AMCN — параллелограмм. 2) Найдите периметр AMCN, если известно, что его сторона AN на 3 см больше стороны AM. При выполнении задания необходимо сделать рисунок.

Рисунок:

1) Доказательство.

1. Так как ABCD — параллелограмм, то AB параллельна CD.
2. Точки M и A лежат на AB, а C и N — на CD, поэтому AM параллельна CN.
3. По условию AM = CN. Значит, в четырёхугольнике AMCN одна пара противоположных сторон равна и параллельна. По признаку параллелограмма AMCN — параллелограмм.

2) Решение.

1. Из периметра ABCD: 2(AB + BC) = 50, поэтому AB + 10 = 25 и AB = 15 см.
2. Отношение AM:MB = 2:3 означает, что AB разделён на 5 равных частей. Тогда AM = 15 · 2/5 = 6 см.
3. По условию AN на 3 см больше AM: AN = 6 + 3 = 9 см.
4. В параллелограмме AMCN противоположные стороны равны, поэтому его периметр равен 2(AM + AN) = 2(6 + 9) = 30 см.

Ответ: 1) AMCN — параллелограмм; 2) 30 см.