5.30. Решите уравнение: 1) \(3^{x+1}+3^x=108\); 2) \(7\cdot3^{x+1}-5^{x+2}=3^{x+4}-5^{x+3}\); 3) \(5^{2x+1}=5^x+4\); 4) \(4^{x-2}-17\cdot2^{x-4}+1=0\); 5) \(2^{x^2-1}-3^{x^2}=3^{x^2-1}-2^{x^2+2}\); 6) \(5^{x^2}-3^{x^2+1}=2(5^{x^2-1}-3^{x^2-2})\); 7) \(\left(\frac75\right)^{x+1}\cdot\left(\frac57\right)^{-(x+1)}=343^{x+3}:125^{x+3}\).

1. \(3^{x+1}+3^x=3^x(3+1)=108\), поэтому \(3^x=27=3^3\), откуда \(x=3\).

2. Перенесём слагаемые: \(60\cdot3^x=100\cdot5^x\), значит \(\left(\frac53\right)^x=\frac35=\left(\frac53\right)^{-1}\). Следовательно, \(x=-1\).

3. Положим \(t=5^x>0\). Тогда \(5t^2=t+4\), то есть \((5t+4)(t-1)=0\). Из условия \(t>0\) получаем \(t=1\), поэтому \(x=0\).

4. Положим \(y=2^x>0\). Умножив уравнение на 16, получим \(y^2-17y+16=0\), или \((y-1)(y-16)=0\). Значит, \(2^x=1\) или \(2^x=16\), откуда \(x=0\) или \(x=4\).

5. Обозначим \(a=x^2\). Переносим слагаемые: \(2^{a-1}+2^{a+2}=3^a+3^{a-1}\). После деления на \(3^{a-1}\) получаем \(\frac94\left(\frac23\right)^{a-1}=1\), поэтому \(\left(\frac32\right)^{a-1}=\frac94=\left(\frac32\right)^2\). Тогда \(a=3\), то есть \(x=\pm\sqrt3\).

6. Положим \(a=x^2\) и разделим уравнение на \(3^{a-2}>0\). Получим \(5\left(\frac53\right)^{a-2}-27=2\left[\left(\frac53\right)^{a-2}-1\right]\), откуда \(\left(\frac53\right)^{a-2}=\frac53\). Значит, \(a=3\), и \(x=\pm\sqrt3\).

7. Левая часть равна 1, поскольку \(\left(\frac57\right)^{-(x+1)}=\left(\frac75\right)^{x+1}\), и эти множители взаимно обратны. Правая часть равна \(\left(\frac{343}{125}\right)^{x+3}=\left(\frac75\right)^{3(x+3)}\). Так как основание не равно 1, равенство 1 выполняется при \(x+3=0\), то есть \(x=-3\).

Ответ: 1) 3; 2) −1; 3) 0; 4) 0, 4; 5) \(\pm\sqrt3\); 6) \(\pm\sqrt3\); 7) −3.