5.31. Решите уравнение: 1) $\log_4(5x+6)=0$; 2) $\log_{1/5}\left(7x+\frac1{25}\right)=2$; 3) $\lg(2x)+\lg(x+3)=\lg(12x-4)$; 4) $\lg\frac{x-5}{x-2}=2$; 5) $\log_{1/2}(x-\sqrt{x^2-16})=-1$; 6) $\log_2(3^{2x-2}+7)=2+\log_2(3^{x-1}+1)$; 7) $(3-\lg x+\lg 3)\lg x=2\lg3+2$; 8) $\frac14\lg(x^{2\lg x})=\lg\sqrt{x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5.31. Решите уравнение: 1) $\log_4(5x+6)=0$; 2) $\log_{1/5}\left(7x+\frac1{25}\right)=2$; 3)…$ Фото задания

5.31. Решите уравнение: 1) $\log_4(5x+6)=0$; 2) $\log_{1/5}\left(7x+\frac1{25}\right)=2$; 3) $\lg(2x)+\lg(x+3)=\lg(12x-4)$; 4) $\lg\frac{x-5}{x-2}=2$; 5) $\log_{1/2}(x-\sqrt{x^2-16})=-1$; 6) $\log_2(3^{2x-2}+7)=2+\log_2(3^{x-1}+1)$; 7) $(3-\lg x+\lg 3)\lg x=2\lg3+2$; 8) $\frac14\lg(x^{2\lg x})=\lg\sqrt{x}$.

Accepted Answer

Область определения: $5x+6>0$. Из равенства следует $5x+6=1$, поэтому $x=-1$.
Аргумент равен $\left(\frac15\right)^2=\frac1{25}$. Поэтому $7x+\frac1{25}=\frac1{25}$, откуда $x=0$.
Область определения требует $x>0$. Объединяем логарифмы: $2x(x+3)=12x-4$. Получаем $2(x-1)(x-2)=0$, поэтому подходят $x=1$ и $x=2$.
Из уравнения следует $\frac{x-5}{x-2}=100$. Тогда $x-5=100x-200$, откуда $x=\frac{65}{33}$. Это значение допустимо: оно не равно 2, а дробь в логарифме положительна.
Область определения: $|x|\ge4$, а аргумент логарифма должен быть положительным. Равенство логарифмов даёт $x-\sqrt{x^2-16}=\frac12$. При $x\le-4$ левая часть отрицательна, что невозможно. При $x\ge4$ возводим в квадрат: $x^2-16=(x-\frac12)^2$, откуда $x=\frac{65}{4}$. Подстановка подтверждает решение.
Положим $t=3^{x-1}>0$. Тогда $\log_2(t^2+7)=\log_2(4(t+1))$, поэтому $t^2+7=4t+4$. Получаем $(t-1)(t-3)=0$, то есть $t=1$ или $t=3$. Следовательно, $x=1$ или $x=2$.
Положим $y=\lg x$; при этом $\lg3$ — постоянная. Получаем квадратное уравнение $y^2+(3-\lg3)y-2\lg3-2=0$. Его корни:
\[y_{1,2}=\frac{\lg3-3\pm\sqrt{(3-\lg3)^2+8\lg3+8}}{2}.\]
Так как $x=10^y$, решения равны $x=10^{y_1}$ и $x=10^{y_2}$; оба положительны и допустимы.
Область определения: $x>0$. Используя свойства логарифмов, получаем $\frac12(\lg x)^2=\frac12\lg x$. Значит, $\lg x=0$ или $\lg x=1$, откуда $x=1$ или $x=10$.

Ответ: 1) −1; 2) 0; 3) 1, 2; 4) $\frac{65}{33}$; 5) $\frac{65}{4}$; 6) 1, 2; 7) $10^{y_1},10^{y_2}$, где $y_{1,2}=\frac{\lg3-3\pm\sqrt{(3-\lg3)^2+8\lg3+8}}2$; 8) 1, 10.