5.37. В прямоугольнике ABCD ∠BCA : ∠DCA = 1 : 5, AC = 18 см. Найдите расстояние от точки C до диагонали BD.

В прямоугольнике угол BCD равен 90°, поэтому ∠BCA + ∠DCA = 90°. По отношению 1 : 5 получаем ∠BCA = 15°, ∠DCA = 75°.

Треугольник ABC прямоугольный, его гипотенуза AC = 18 см. Тогда AB = 18 · sin 15°, BC = 18 · cos 15°. В прямоугольном треугольнике BCD расстояние от C до BD — высота к гипотенузе:

h = AB · BC / BD. При этом BD = AC = 18 см, следовательно, h = (18 · sin 15° · 18 · cos 15°) / 18 = 18 · sin 15° · cos 15° = 9 · sin 30° = 4,5 см.

Ответ: 4,5 см.