5.38. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов прямоугольника [часть условия обрезана] являются вершинами квадрата.

Предположим, что имеются в виду точки пересечения биссектрис соседних углов прямоугольника. Обозначим стороны прямоугольника через a и b, а его вершины — A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b). Если a = b, все биссектрисы проходят через одну точку, поэтому утверждение о вершинах квадрата верно для нес квадратного прямоугольника.

Биссектрисы внутренних углов имеют уравнения y = x, y = −x + a, y = x + b и y = −x + a + b. Точки пересечения соседних биссектрис:

P(a/2, a/2), Q(a − b/2, b/2), R(a/2, b − a/2), S(b/2, b/2).

Центр этих четырёх точек — O(a/2, b/2). Их векторы относительно O имеют координаты (±(a − b)/2, ±(a − b)/2), причём в каждой паре знаки одинаковы. Все четыре точки равноудалены от O, а направления соседних радиус-векторов перпендикулярны. Значит, P, Q, R и S — вершины квадрата.

Фрагмент условия обрезан; если в нём указано дополнительное ограничение или иной способ выбора точек пересечения, пришлите полный текст, чтобы можно было проверить, соответствует ли ему доказательство.