5. (3б.) В окружности с центром O проведены диаметры AC и BD. Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Диагонали четырёхугольника ABCD — AC и BD. По условию обе они являются диаметрами одной окружности, поэтому равны и пересекаются в центре O, который является серединой каждой диагонали.

1. Диагонали AC и BD делятся точкой пересечения O пополам. Следовательно, ABCD — параллелограмм.
2. Диагонали этого параллелограмма равны, поскольку AC и BD — диаметры одной окружности.
3. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

Следовательно, ABCD — прямоугольник.