5^{3x+1} - 5^{3x-3} \(\le\) 624

Решение:

Данное неравенство содержит степени с одинаковым основанием. Вынесем общий множитель за скобки:

\( 5^{3x-3} \cdot 5^4 - 5^{3x-3} \le 624 \)

\( 5^{3x-3} (5^4 - 1) \le 624 \)

\( 5^{3x-3} (625 - 1) \le 624 \)

\( 5^{3x-3} \cdot 624 \le 624 \)

Разделим обе части неравенства на 624 (так как 624 > 0, знак неравенства не меняется):

\( 5^{3x-3} \le \frac{624}{624} \)

\( 5^{3x-3} \le 1 \)

Так как \( 1 = 5^0 \), получаем:

\( 5^{3x-3} \le 5^0 \)

Поскольку основание степени \( 5 > 1 \), показателели степеней можно сравнить, сохранив знак неравенства:

\( 3x-3 \le 0 \)

\( 3x \le 3 \)

\( x \le \frac{3}{3} \)

\( x \le 1 \)

Ответ: \( x \le 1 \).