5.4. На плоскости отметили несколько точек и попарно соединили их отрезками. Провели прямую, которая не проходит ни через одну из этих точек. Оказалось, что она пересекла ровно 21 отрезок. Сколько отрезков не пересекла эта прямая? Будьте внимательны: у задачи может быть несколько решений!

Пусть по одну сторону прямой находятся k точек, а по другую — m. Отрезок пересекает прямую тогда и только тогда, когда его концы лежат по разные стороны. Поэтому число пересечённых отрезков равно km, а всего отрезков — \(\binom{k+m}{2}\).

1. Разложим 21 на пары положительных множителей: \(21=1\cdot21=3\cdot7\).

2. Если по сторонам расположены 1 и 21 точка, всего точек 22: \(\binom{22}{2}=231\). Не пересечены \(231-21=210\) отрезков.

3. Если по сторонам расположены 3 и 7 точек, всего точек 10: \(\binom{10}{2}=45\). Не пересечены \(45-21=24\) отрезка.

Ответ: 210 или 24 отрезка.