5.51. В квадрате ABCD выбрана точка M так, что треугольник AMD равносторонний. Вне квадрата выбрана точка K так, что треугольник AKB равносторонний. Докажите, что точки K, M и C лежат на одной прямой.

Пусть сторона квадрата равна \(a\). Разместим квадрат на координатной плоскости:

\(A(0,0)\), \(B(a,0)\), \(C(a,a)\), \(D(0,a)\).

Так как треугольник \(AMD\) равносторонний и точка \(M\) лежит внутри квадрата, то

\[M\left(\frac{\sqrt3}{2}a,\frac12a\right).\]

Треугольник \(AKB\) равносторонний построен вне квадрата, поэтому

\[K\left(\frac12a,-\frac{\sqrt3}{2}a\right).\]

Найдём угловые коэффициенты прямых \(KM\) и \(KC\):

\[k_{KM}=\frac{\frac12a+\frac{\sqrt3}{2}a}{\frac{ \sqrt3}{2}a-\frac12a}=\frac{1+\sqrt3}{\sqrt3-1}=2+\sqrt3,\]

\[k_{KC}=\frac{a+\frac{ \sqrt3}{2}a}{a-\frac12a}=2+\sqrt3.\]

Угловые коэффициенты равны, а точки \(M\) и \(C\) имеют общую точку с прямой, проходящей через \(K\). Следовательно, точки \(K\), \(M\) и \(C\) лежат на одной прямой.

Ответ: точки \(K\), \(M\) и \(C\) коллинеарны.