5.52. В параллелограмме ABCD ∠ABD = 3∠DBC, BC = 2AB. Найдите углы параллелограмма.

Обозначим \(\angle DBC=x\). Тогда по условию \(\angle ABD=3x\).

Диагональ \(BD\) делит угол \(ABC\), поэтому

\[\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=4x.\]

В параллелограмме соседние углы в сумме дают \(180^\circ\), значит

\[\angle BAD=180^\circ-4x.\]

Рассмотрим треугольник \(ABD\). Так как \(AD=BC\), а \(BC=2AB\), то \(AD=2AB\).

Угол при вершине \(B\) равен \(3x\), поэтому угол при вершине \(D\):

\[\angle ADB=180^\circ-(180^\circ-4x)-3x=x.\]

По теореме синусов в треугольнике \(ABD\):

\[\frac{AD}{AB}=\frac{\sin 3x}{\sin x}.\]

Подставим \(AD=2AB\):

\[2=\frac{\sin 3x}{\sin x},\qquad \sin 3x=2\sin x.\]

Используем формулу \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x\):

\[3\sin x-4\sin^3x=2\sin x,\]

\[\sin x(1-4\sin^2x)=0.\]

Так как \(x\ne0\), получаем \(\sin x=\frac12\), откуда \(x=30^\circ\).

Следовательно,

\[\angle ABC=4x=120^\circ,\qquad \angle BAD=180^\circ-120^\circ=60^\circ.\]

Противоположные углы параллелограмма равны.

Ответ: \(\angle A=\angle C=60^\circ\), \(\angle B=\angle D=120^\circ\).