Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Пусть сторона основания и боковое ребро правильной призмы равны 1. Расположим вершины основания по порядку на правильном шестиугольнике ABCDEF. В таком шестиугольнике диагональ через одну вершину равна \(\sqrt{3}\), а расстояние между противоположными вершинами равно 2.
1) Треугольник AC₁E₁.
- В прямоугольном треугольнике ACC₁: \(AC=\sqrt{3}\), \(CC₁=1\), поэтому \(AC₁=\sqrt{AC^2+CC₁^2}=\sqrt{3+1}=2\).
- Аналогично, \(AE=\sqrt{3}\) и \(EE₁=1\), значит \(AE₁=2\).
- Отрезок C₁E₁ равен соответствующему отрезку основания CE, поэтому \(C₁E₁=\sqrt{3}\).
- По теореме косинусов для угла при A: \(\cos A=\frac{2^2+2^2-(\sqrt{3})^2}{2\cdot2\cdot2}=\frac{5}{8}\). Следовательно, \(\angle A=\angle E₁=\arccos\frac{5}{8}\approx51.3^\circ\).
- Для угла при C₁: \(\cos C₁=\frac{2^2+(\sqrt{3})^2-2^2}{2\cdot2\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\). Значит, \(\angle C₁=\arccos\frac{\sqrt{3}}{4}\approx64.3^\circ\).
Итак, стороны треугольника: \(AC₁=AE₁=2\), \(C₁E₁=\sqrt{3}\); углы: при A и E₁ — примерно \(51.3^\circ\), при C₁ — примерно \(64.3^\circ\).
2) Угол между плоскостями AC₁E₁ и A₁CE.
Возьмём координаты основания: \(A=(1,0,0)\), \(C=(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2},0)\), \(E=(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2},0)\), а верхние вершины имеют ту же горизонтальную проекцию и координату \(z=1\). Нормали к плоскостям можно взять пропорциональными \((1,0,\frac32)\) и \((-1,0,\frac32)\). Поэтому косинус острого угла между плоскостями равен \(\frac{|(1,0,\frac32)\cdot(-1,0,\frac32)|}{\sqrt{1+\frac94}\sqrt{1+\frac94}}=\frac{5}{13}\).
Угол между плоскостями равен \(\arccos\frac{5}{13}\approx67.4^\circ\).
3) Площадь параллелограмма BCE₁F₁.
Стороны параллелограмма можно задать векторами \(\overrightarrow{BC}=(-1,0,0)\) и \(\overrightarrow{CE₁}=(0,-\sqrt3,1)\). Их длины равны 1 и 2, а угол между ними прямой. Следовательно, площадь равна \(1\cdot2=2\).
Ответ: 1) стороны 2, 2, \(\sqrt3\); углы \(\arccos\frac58,\ \arccos\frac{\sqrt3}{4},\ \arccos\frac58\). 2) \(\arccos\frac5{13}\). 3) 2.
