5.54. Даны три точки A(1; 2; 0), B(2; 3; 0), C(3; 4; 7). Напишите уравнения: 1) прямой AB; 2) прямой, проходящей через B и параллельной оси Ox; 3) плоскости, содержащей все три данные точки.

Направляющий вектор прямой AB: \(\overrightarrow{AB}=(2-1;\,3-2;\,0-0)=(1;1;0)\). Поэтому её каноническое уравнение:

\[\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1},\qquad z=0.\]

Параметрическое уравнение: \(x=1+t,\ y=2+t,\ z=0\).

Направляющий вектор прямой, параллельной оси Ox, равен \((1;0;0)\). Через точку \(B(2;3;0)\) проходит прямая с уравнениями:

\[y=3,\qquad z=0\quad (x\in\mathbb R).\]

Параметрически: \(x=2+t,\ y=3,\ z=0\).

Векторы \(\overrightarrow{AB}=(1;1;0)\) и \(\overrightarrow{AC}=(2;2;7)\) не пропорциональны, значит, точки не лежат на одной прямой и задают единственную плоскость. Векторное произведение этих векторов пропорционально нормали \((1;-1;0)\). Подставим точку A в уравнение плоскости:

\[(x-1)-(y-2)=0.\]

Следовательно, уравнение плоскости:

\[x-y+1=0.\]