5.6. Докажите неравенства: а) |x| < x; б) |x| < −x; в) |x + 2| < x + 2; г) |x − 2| < 2 − x.

Используем свойство: для любого действительного числа t выполняется |t| ≥ t. Поэтому строгое неравенство |t| < t невозможно.

1. а) |x| < x невозможно, поскольку |x| ≥ x. Решений нет.
2. б) Так как |x| ≥ 0, для выполнения |x| < −x необходимо −x > 0, то есть x < 0. При x < 0 имеем |x| = −x, а не строгое неравенство. Решений нет.
3. в) Положив t = x + 2, получаем невозможное неравенство |t| < t. Решений нет.
4. г) Для x ≥ 2 левая часть |x − 2| = x − 2, и условие становится x − 2 < 2 − x, откуда x < 2, что противоречит x ≥ 2. Для x < 2 имеем |x − 2| = 2 − x, поэтому строгое неравенство также невозможно.

Ответ: во всех пунктах решений нет.