5.7. Докажите неравенства: а) |x| > x; б) |x| > −x; в) |x + 2| > x + 2; г) |x − 2| > 2 − x.

Используем свойство |t| ≥ t; равенство достигается при t ≥ 0. Также |t| ≥ −t; равенство достигается при t ≤ 0.

1. а) |x| > x выполняется при x < 0: тогда |x| = −x > x. При x ≥ 0 получается равенство. Ответ: x < 0.
2. б) |x| > −x выполняется при x > 0: тогда |x| = x > −x. При x ≤ 0 получается равенство. Ответ: x > 0.
3. в) Положим t = x + 2. Неравенство |t| > t выполняется при t < 0, значит, x + 2 < 0 и x < −2.
4. г) Положим t = x − 2. Правая часть равна 2 − x = −t, поэтому требуется |t| > −t. Это выполняется при t > 0, то есть x > 2.

Ответ: а) x < 0; б) x > 0; в) x < −2; г) x > 2.