5^{-9} \(\cdot\) 25^{-2} / 125^{-4}

Решение:

Для решения данного примера, преобразуем все числа к основанию 5.

1. Запишем 25 как \( 5^2 \) и 125 как \( 5^3 \).
2. Подставим эти значения в исходное выражение: \[ \frac{5^{-9} \cdot (5^2)^{-2}}{(5^3)^{-4}} \]
3. Применим правило степени степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \[ \frac{5^{-9} \cdot 5^{2 \cdot (-2)}}{5^{3 \cdot (-4)}} = \frac{5^{-9} \cdot 5^{-4}}{5^{-12}} \]
4. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \[ \frac{5^{-9 + (-4)}}{5^{-12}} = \frac{5^{-13}}{5^{-12}} \]
5. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ 5^{-13 - (-12)} = 5^{-13 + 12} = 5^{-1} \]
6. Представим результат в виде дроби: \[ 5^{-1} = \frac{1}{5} \]

Ответ: \( \frac{1}{5} \).