5^{-9} \(\cdot\) (5^2)^{-2} / (5^3)^{-4}

Решение:

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней:

• Произведение степеней с одинаковым основанием: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
• Возведение степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
• Деление степеней с одинаковым основанием: \( a^m / a^n = a^{m-n} \)

Упростим числитель:

\( 5^{-9} \cdot (5^2)^{-2} = 5^{-9} \cdot 5^{2 \cdot (-2)} = 5^{-9} \cdot 5^{-4} = 5^{-9 + (-4)} = 5^{-13} \)

Упростим знаменатель:

\( (5^3)^{-4} = 5^{3 \cdot (-4)} = 5^{-12} \)

Теперь разделим числитель на знаменатель:

\( \frac{5^{-13}}{5^{-12}} = 5^{-13 - (-12)} = 5^{-13 + 12} = 5^{-1} \)

Представим результат в виде дроби:

\( 5^{-1} = \frac{1}{5} \)

Ответ: \( \frac{1}{5} \)