5. а) Решите уравнение −0,5 cos 2x + 3,5√2 sin x − 3,5 = 0. б) Укажите его корни, которые принадлежат промежутку [−6π; −9π/2].

Используем тождество \(\cos 2x=1-2\sin^2 x\):

\(-0.5(1-2\sin^2 x)+3.5\sqrt{2}\sin x-3.5=0\), поэтому \(\sin^2 x+\frac{7\sqrt{2}}{2}\sin x-4=0\).

Обозначим \(t=\sin x\). Тогда \(t^2+\frac{7\sqrt{2}}{2}t-4=0\), откуда \(t=\frac{\sqrt{2}}{2}\) или \(t=-4\sqrt{2}\). Второе значение невозможно, поскольку \(|\sin x|\leq 1\).

Значит, \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\) или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\). На заданном промежутке этим формулам соответствуют значения при \(k=-3\).

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\) или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\); б) \(-\frac{23\pi}{4}, -\frac{21\pi}{4}\).